グループ分け

<問題>次の場合の数を求めなさい。

①8人を、2つの部屋A、Bに入れる方法は何通りあるか。空室はあってもよい。

②8人を、2つの部屋A、Bに入れる方法は何通りあるか。空室はないものとする。

③8人を、2つのグループに分ける方法は何通りあるか。

解法のポイント

①と② → 基本的には、8人それぞれが、部屋AかBの「2通り」考えられる。

③ → 「2つのグループ」つまりA,Bの区別がないことに注意する。

①について、たとえば、4人の場合をイメージ図で示してみましょう。

下のように、1人目は「A」「B」の2通り、2人目はその2通りおのおのに対してやはり「A」「B」の2通り、3人目は、4通りおのおのに対して2通り、4人目は、8通りおのおのに対して2通り、ここまでで16通りとなります。

これを、式を用いて表すと、2=16となります。

つまり、ここでは8人ですので、 

答 256通り
 
②について、空室ができないという条件ですので、空室ができる場合を考えます。
空室ができるのは、「全員がAの部屋に入る」または「全員がBの部屋に入る」場合の2通りです。
つまり、求める場合の数は、次のようになります。
256-2=254   答 254通り
 
③についての解説です。
「部屋を区別する場合」と「部屋を区別しない場合」で、どう違うのか、4人の場合で比べてみましょう。「部屋A,Bを区別する場合」は、同じ組み合わせでも、イメージ図の上と下は、異なる場合として2通りとして数える必要がありますね。
 
ところが、2つのグループ(部屋の区別をしない)に分ける場合、下の2つの場合はもちろん同じグループの分け方と考えます。つまり、これで1通りと数えます。
結果的に、A,Bの部屋に入れる場合の半分が求める場合の数となります。
「空室のなし」の場合の数を2で割ります。2つのグループに分けるので、全員がどちらかに入ってしまう場合(2通り)は、除いて考えます。
 
よって、求める式は、254÷2=127             答  127通り

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