立方体の各面に数字を描き込む

問題 立方体の各面に、1つずつ1から6までの異なる数字を描き込む。

このとき、
(1)書き込み方は、全部で何通りあるか。
(2)向かい合うどの2つの面の数字の和も7となるような書き込み方は、何通りあるか。
解法のポイント

6つの面は、すべての面が対等(同じ条件)です。
この意味は、下の図で、たとえば上面に「1」を置いたときのすべての場合の数を考えます。次に右側面に「1」を置いたときのすべての場合を考えてみましょう。しかし、これは、立方体をころがして向きを変えると、上面に「1」を置いたときの書き込み方と同じになります。

つまり、この2つは同じものとして考えることになりますので、ここでは、「1を上面に置いたときの、2~6の数字の並べ方」を考えることにします。
上のイメージのように、それで、すべての場合の数を求めたことになりますからね。

では、「上面に1を置いたとき、下面にくる数は?」
 
 下面には、残りの2、3、4、5、6の5通りが考えられます。
 左の図は、下面に「2」がきたときのイメージ図です。
 次は、残ったまわりの4つの面について考えてみましょう。
 
 
 
 
 

下面に「2」を入れます。このとき、残りの4個の数字の並べ方は、円順列になります。
 
 
 上のイメージ図を見てみましょう。「3-4-5-6」という順が同じであれば、この2つの並べ方は、同じものとして考えることになります。つまり、この4個の数字の並びは、「円順列」になります。
 
 では、ここまでの内容を整理し、式を作ってみましょう。
(1)のすべての書き込み方は、次のように求めます。
 1の面を上に置いてみると、下面にくる数字は、2,3,4,5,6の5通り。たとえば、2が下面にきたときは、3,4,5,6の4個の数字の円順列を考えて
 (4-1)!通り また、下面にくる数字は5通りあり、そのおのおのについても、同じ円順列の場合がある。  式 (4-1)!×5=30
答  30通り
 
(2)どの数字の面の和も「7」になる。
このようになる組み合わせは、(1,6)(2,5)(3,4)しかありません。
まず、上面に「1」、下面に「6」を書き込みます。

残り4つの面の数字の並べ方を考えてみましょう。
 次に「2」と「5」を、書き込んだ場合、残りの部分には「3」と「4」が下のように、2通りの書き込み方があります。
 もちろん、「2」「5」を書き込む場所を、左右にして、残った部分に「3」「4」を書き込んだとしても、同じ並べ方になってしまいますので、すべての場合の数は、この2通りとなります。
答  2通り

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