組分けの問題~組合わせの活用

<問題> 10人の生徒を次のように分ける方法は何通りあるか。

(1)5人、3人、2人の3組に分ける。
(2)2人ずつ、A、B、C、D、Eの5組に分ける。
(3)2人ずつ5組に分ける。
(4)4人、2人、2人、2人の4組に分ける。
「2人ずつA、B、C、D、Eの5組に分ける」ことは、「2人ずつ5組に分けた」各グループを、A、B、C、D、Eの5つの部屋に入れるイメージです。

(1)5人、3人、2人の3組に分ける。

10人からまず「5人選び」、次に「3人選ぶ」。残りが自動的に「2人」のグループとなります。

 

<手順1> まず、10人から5人を選ぶ  105 通り

<手順2> 次に、残り5人から3人を選ぶ    5通り

<手順3> 手順1のおのおのについて、手順2の選び方があるので

 求める場合の数は  10× 10 =2520

                          答  2520通り

 (2)2人ずつA、B、C、D、Eの5組に分ける

(1)と同様に、10人から順に2人ずつ選ぶ操作を繰り返す。

 

<手順1> まず、10人から2人を選ぶ  102 通り

<手順2> 次に、残り8人から2人を選ぶ    8通り

<手順3> 次に、残り6人から2人を選ぶ   通り

<手順4> 次に、残り4人から2人を選ぶ    4通り

 手順1のおのおのについて、手順2,3,4の選び方があり

  求める場合の数は  

   10× 8 ×× 4 =113400

               答  113400通り

 

(3)2人ずつ、5組に分ける

  (2)の問題との違いを、下のイメージ図でスッキリさせましょう。

   A、B、C、D、Eの5組に分ける場合

  → 5組のグループを作ってから、さらにA~Eの名前をつけている。 

 
結論として、「5組に分ける」この問題の場合の数は、こうなります。
 
(2)の場合の数÷5!と考えて、 
 
 

(4)4人、2人、2人、2人の4組に分ける

   まず4組を区別して、場合の数を求めてみましょう。

<手順1> まず、10人から2人を選ぶ  102 通り

<手順2> 次に、残り8人から2人を選ぶ    8通り

<手順3> 次に、残り6人から2人を選ぶ   通り

<手順4> 残り4人は,自動的に決まる。

   手順1のおのおのについて、手順2,3の選び方があり

  求める場合の数は  

    10× 8 × =18900

<解法にせまるためのイメージ>

 
 
結論として、この問題の場合の数は、こうなります。
 
 (4組を区別したときの場合の数)÷3!と考えて、
 

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