組分けの問題～組合わせの活用

＜問題＞　１０人の生徒を次のように分ける方法は何通りあるか。

（１）５人、３人、２人の３組に分ける。

（２）２人ずつ、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅの５組に分ける。

（３）２人ずつ５組に分ける。

（４）４人、２人、２人、２人の４組に分ける。

「２人ずつＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅの５組に分ける」ことは、「２人ずつ５組に分けた」各グループを、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅの５つの部屋に入れるイメージです。

（１）５人、３人、２人の３組に分ける。

１０人からまず「５人選び」、次に「３人選ぶ」。残りが自動的に「２人」のグループとなります。

＜手順１＞　まず、１０人から５人を選ぶ　　_１０Ｃ_５通り

_{＜手順２＞　次に、残り５人から３人を選ぶ}_５Ｃ_３通り

_{＜手順３＞　手順１のおのおのについて、手順２の選び方があるので}

_{求める場合の数は　　１０}Ｃ_５×_１０Ｃ_５＝２５２０

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答　　２５２０通り

（２）２人ずつＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅの５組に分ける

（１）と同様に、１０人から順に２人ずつ選ぶ操作を繰り返す。

＜手順１＞　まず、１０人から２人を選ぶ　　_１０Ｃ_２通り

_{＜手順２＞　次に、残り８人から２人を選ぶ}_８Ｃ_２通り

_{＜手順３＞　次に、残り６人から２人を選ぶ　６Ｃ２通り}

_{＜手順４＞　次に、残り４人から２人を選ぶ　４Ｃ２通り}

_{手順１のおのおのについて、手順２，３，４の選び方があり}

_{求める場合の数は}

_１０Ｃ_２×_８Ｃ_２ ×_６Ｃ_２×_４Ｃ_２＝１１３４００

　　　　　　　　　　　　　　　答　　１１３４００通り

（３）２人ずつ、５組に分ける

　　（２）の問題との違いを、下のイメージ図でスッキリさせましょう。

　　　Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅの５組に分ける場合

　　→　５組のグループを作ってから、さらにＡ～Ｅの名前をつけている。　

結論として、「５組に分ける」この問題の場合の数は、こうなります。

（２）の場合の数÷５！と考えて、　

（４）４人、２人、２人、２人の４組に分ける

　　　まず４組を区別して、場合の数を求めてみましょう。

＜手順１＞　まず、１０人から２人を選ぶ　　_１０Ｃ_２通り

_{＜手順２＞　次に、残り８人から２人を選ぶ}_８Ｃ_２通り

_{＜手順３＞　次に、残り６人から２人を選ぶ　６Ｃ２通り}

_{＜手順４＞　残り４人は，自動的に決まる。}

_{手順１のおのおのについて、手順２，３の選び方があり}

_{求める場合の数は}

_１０Ｃ_２×_８Ｃ_２ ×_６Ｃ_２＝１８９００

＜解法にせまるためのイメージ＞

結論として、この問題の場合の数は、こうなります。

　（４組を区別したときの場合の数）÷３！と考えて、