正八角形の頂点を結び三角形をつくる

<問題> 正八角形の8個の頂点のうち、3個の頂点を結んで三角形を作る。

(1)正八角形と1辺だけを共有する三角形はいくつできるか。
(2)正八角形と辺を共有しない三角形はいくつできるか。
 
<解法の糸口>

「1辺を固定」して考え、3つ目の頂点の取り方をイメージしよう。
(1)下の図を参考に、イメージを広げましょう。

上の場合、頂点結ぶ辺を固定して考えて、1辺をのみを共有することから、3つ目の頂点の取り方は、③、④、⑤、⑥の4通りです。
 
また、辺の選び方は、8通りあることから、次のように求めることができます。
 
 8×4=32    答  32通り
 
(2)すべて書き出してみるのも1つの方法です。
   ただ、ここでは少し求め方を工夫してみましょう。

(辺を共有しない三角形の個数)

=(すべての三角形の個数)-(辺を共有する三角形の個数)

 
<手順1> 各頂点を結びできる三角形の総数  3 通り
 
<手順2> 辺を共有する三角形の個数
 
      1つの辺を共有する場合は、(1)の問より   32通り
 
      2つの辺を共有する場合は、8通り
     → 1つの頂点と左右の隣り合う頂点を結ぶ場合を考える。
 
<手順3> つまり、 3 -32-8=16
答  16通り
      

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