1次関数と面積

<問題>

下図のように、直線① y=-x+2 と点(1,3)を通り、傾きが2の直線②がある。2直線①、②の交点の座標を(a,b)とする。
このとき、
(1)直線②の式を求めなさい。
(2)a,bの値を求めなさい。
(3)cを定数とする。4つの直線 y=c,y=c+2,①および②で囲まれた部分の面積が4であるとき、cの値を求めなさい。ただし、c>bとする。

 

<解法の糸口>

直線②の式の求め方
→1次関数の式 y=ax+bとしたとき
 <手順1> 傾き2であることから、a=2
 <手順2> 点(1,3)を通ることから、
       x=2,y=3を式に代入したとき、等式が成り立つ
 
(1) 傾き2であることから、1次関数の式は、y=2x+bと
    表すことができる。
 
    この式に、x=1,y=3を代入して
 
     3=2×1+bより      b=1
答 y=2x+1
 
(2)「交点の座標」の求め方を確認しましょう。
 
  ●交点(a,b)は、①のグラフ上の点である。
→x=a,y=b を、①の式に代入すると、等式は成り立つ。
 
  ●交点(a,b)は、②のグラフ上の点である。

→x=a,y=b を、②の式に代入すると、等式は成り立つ。
 
つまり、交点の座標の値の組、x=a,y=bは、
①と②の両方の等式を成り立たせる値です。
 
このことから、交点の求め方は、下のように整理できます。
①と②の直線の交点の座標は、①と②の直線の式を、連立方程式として解くことによって求まる。
 
 
(3)求める部分の面積が、どこの部分であるのか。
   ていねいに条件を読み取ろう。
   4つの直線で囲まれる部分の面積は、下図の斜線部分です。
 
 
   
 

四角形ACDBは、台形より、「上底」「下底」「高さ」から面積を求めていきます。
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
<手順2>上底、下底、高さをcを用いて表す。
     さらに、面積が4であることからcを求める。

 
 
 
 
 
 

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