<問題>
1から20までの20個の整数から、異なる3個を選んで組を作るとき、次のような組は何通りできるか。
(1)偶数も奇数も含む組
(2)3個の数の積が8の倍数となる組
(1)解法の手順
<手順1>まず、20個の整数の中身を確認しましょう。
偶数は、2,4,6,・・・・18,20 の10個
奇数は、1,3,5,・・・・,17,19 の10個
<手順2>(1)について、「偶数、奇数どちらも含む」という場合のイメージを明確する。
パターンとしては、①偶数2個、奇数1個 または ②偶数1個、奇数2個の2通り
①の場合の数は、 10C2×10C1=450
②の場合の数は、 10C1×10C2=450
よって、 450+450=900
答 900通り
(2)解法の手順
<解法の糸口>
「8の倍数」になる鍵を握るのは、「8の倍数」の存在
つまり、「8の倍数」を含む個数によって、場合分けし、イメージを広げる。
<手順1>8の倍数の確認
まず、8の倍数は、8と16の2通り。また、8の倍数ではない4の倍数は、4と12と20の3通り。
では、ここからは、下のそれぞれの場合について、積が8の倍数になる場合の数を求めましょう。
<手順2>8の倍数を2個含む場合
8と16と■ ■は8と16以外の18通り
よって、1×18=18 18通り
<手順3>8の倍数を1個含む場合
○と■と□とすると、
○を8の倍数とすると、○は、8か16の2通り
■と□は、8と16以外の18通りから2通りの並び方を考えて、
18C2通り
つまり、2×18C2=306 306通り
<手順4>8の倍数を含まない場合
このとき、「8の倍数になるかどうか」鍵をにぎるのは・・・・
→「8の倍数ではない4の倍数の存在」です。
そこで「8の倍数でない4の倍数」の個数に注目して場合分けしていきます。
(1)8の倍数でない4の倍数を3個含む場合
8の倍数でない4の倍数は、4,12,20の3個であるから、この場合は1通り
(2)8の倍数でない4の倍数を2個含む場合
○と●と□とすると
○と●を8の倍数でない4の倍数とすると、選び方は、3C2通り
□は、4,8,12,16,20以外の15通り
つまり、3C2×15=45 45通り
(3)8の倍数でない4の倍数を1個含む場合
○と■と□とすると
○は8の倍数でない4の倍数とする。→3通り
■□の少なくとも一つは偶数であれば、積が8の倍数となる。
■□の少なくとも一つは偶数の場合の数
→(■□のすべての選び方)-(■□がともに奇数となる選び方)
=15C2-10C2=105-45=60
よって、○と■と□となる場合の数は、3×60=180 180通り
(3)8の倍数でない4の倍数を含まないとき
→積が8の倍数になるためには、3つともに偶数であればよい。
残っている偶数は、2,6,10,14,18の5通り
よって、5C3=10 10通り
以上より、18+306+1+45+180+10=560
答 560通り