＜問題＞
１から２０までの２０個の整数から、異なる３個を選んで組を作るとき、次のような組は何通りできるか。
（１）偶数も奇数も含む組
（２）３個の数の積が８の倍数となる組
（１）解法の手順
＜手順１＞まず、２０個の整数の中身を確認しましょう。
偶数は、２，４，６，・・・・１８，２０ の１０個
奇数は、１，３，５，・・・・，１７，１９ の１０個
＜手順２＞（１）について、「偶数、奇数どちらも含む」という場合のイメージを明確する。
パターンとしては、①偶数２個、奇数１個 または ②偶数１個、奇数２個の２通り
①の場合の数は、 １０Ｃ２×１０Ｃ１＝４５０
②の場合の数は、 １０Ｃ１×１０Ｃ２＝４５０
よって、 ４５０＋４５０＝９００
答 ９００通り
（２）解法の手順
＜解法の糸口＞
「８の倍数」になる鍵を握るのは、「８の倍数」の存在
つまり、「８の倍数」を含む個数によって、場合分けし、イメージを広げる。
＜手順１＞８の倍数の確認
まず、８の倍数は、８と１６の２通り。また、８の倍数ではない４の倍数は、４と１２と２０の３通り。
では、ここからは、下のそれぞれの場合について、積が８の倍数になる場合の数を求めましょう。
＜手順２＞８の倍数を２個含む場合
８と１６と■ ■は８と１６以外の１８通り
よって、１×１８＝１８ １８通り
＜手順３＞８の倍数を１個含む場合
○と■と□とすると、
○を８の倍数とすると、○は、８か１６の２通り
■と□は、８と１６以外の１８通りから２通りの並び方を考えて、
１８Ｃ２通り
つまり、２×１８Ｃ２＝３０６ ３０６通り
＜手順４＞８の倍数を含まない場合
このとき、「８の倍数になるかどうか」鍵をにぎるのは・・・・
→「８の倍数ではない４の倍数の存在」です。
そこで「８の倍数でない４の倍数」の個数に注目して場合分けしていきます。
（１）８の倍数でない４の倍数を３個含む場合
８の倍数でない４の倍数は、４，１２，２０の３個であるから、この場合は１通り
（２）８の倍数でない４の倍数を２個含む場合
○と●と□とすると
○と●を８の倍数でない４の倍数とすると、選び方は、３Ｃ２通り
□は、４,８,１２,１６,２０以外の１５通り
つまり、３Ｃ２×１５＝４５ ４５通り
（３）８の倍数でない４の倍数を１個含む場合
○と■と□とすると
○は８の倍数でない４の倍数とする。→３通り
■□の少なくとも一つは偶数であれば、積が８の倍数となる。
■□の少なくとも一つは偶数の場合の数
→（■□のすべての選び方）－（■□がともに奇数となる選び方）
＝１５Ｃ２－１０Ｃ２＝１０５－４５＝６０
よって、○と■と□となる場合の数は、３×６０＝１８０ １８０通り
（３）８の倍数でない４の倍数を含まないとき
→積が８の倍数になるためには、３つともに偶数であればよい。
残っている偶数は、２,６,１０,１４,１８の５通り
よって、５Ｃ３＝１０ １０通り
以上より、１８＋３０６＋１＋４５＋１８０＋１０＝５６０
答 ５６０通り