20個の整数から異なる3個を選ぶ 

<問題>

1から20までの20個の整数から、異なる3個を選んで組を作るとき、次のような組は何通りできるか。
(1)偶数も奇数も含む組
(2)3個の数の積が8の倍数となる組
 
(1)解法の手順
<手順1>まず、20個の整数の中身を確認しましょう。

偶数は、2,4,6,・・・・18,20  の10個

奇数は、1,3,5,・・・・,17,19 の10個

<手順2>(1)について、「偶数、奇数どちらも含む」という場合のイメージを明確する。

パターンとしては、①偶数2個、奇数1個  または  ②偶数1個、奇数2個の2通り

①の場合の数は、 10×10=450

②の場合の数は、 10×10=450
 
よって、  450+450=900
 
答 900通り 
 

(2)解法の手順

<解法の糸口>

「8の倍数」になる鍵を握るのは、「8の倍数」の存在
つまり、「8の倍数」を含む個数によって、場合分けし、イメージを広げる。
<手順1>8の倍数の確認

まず、8の倍数は、8と16の2通り。また、8の倍数ではない4の倍数は、4と12と20の3通り。

では、ここからは、下のそれぞれの場合について、積が8の倍数になる場合の数を求めましょう。

<手順2>8の倍数を2個含む場合

 8と16と  は8と16以外の18通り

よって、1×18=18  18通り

<手順3>8の倍数を1個含む場合

 ○とと□とすると、

○を8の倍数とすると、○は、8か16の2通り

と□は、8と16以外の18通りから2通りの並び方を考えて、

182通り

つまり、2×18=306   306通り

 
<手順4>8の倍数を含まない場合
このとき、「8の倍数になるかどうか」鍵をにぎるのは・・・・
「8の倍数ではない4の倍数の存在」です。
 そこで「8の倍数でない4の倍数」の個数に注目して場合分けしていきます。
 
(1)8の倍数でない4の倍数を3個含む場合

8の倍数でない4の倍数は、4,12,20の3個であるから、この場合は1通り
 
(2)8の倍数でない4の倍数を2個含む場合

○とと□とすると

○とを8の倍数でない4の倍数とすると、選び方は2通り

□は、4,8,12,16,20以外の15通り
 
       つまり、3×15=45    45通り
 
(3)8の倍数でない4の倍数を1個含む場合

○とと□とすると

○は8の倍数でない4の倍数とする。→3通り
 
□の少なくとも一つは偶数であれば、積が8の倍数となる。
□の少なくとも一つは偶数の場合の数
→(□のすべての選び方)-(□がともに奇数となる選び方)
1510=105-45=60
 
よって、○とと□となる場合の数は、3×60=180 180通り
 
(3)8の倍数でない4の倍数を含まないとき
→積が8の倍数になるためには、3つともに偶数であればよい。
残っている偶数は、2,6,10,14,18の5通り
よって、=10   10通り
 
以上より、18+306+1+45+180+10=560
                            答  560通り

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